Konveks mangekant. Definisjon av et konvekst polygon. Diagonalene av et konvekst polygon

Disse geometriske figurer er alle rundt oss. Konveks mangekant er naturlige, såsom en bikake eller kunstig (man gjort). Disse tallene er brukt i produksjon av forskjellige typer belegg i faget, arkitektur, ornamenter, etc. Konveks mangekant har den egenskapen at deres punktene ligger på en side av en rett linje som går gjennom paret av nærliggende knutepunkter i den geometriske figuren. Det finnes andre definisjoner. Det kalles den konvekse polygon, som er anordnet i en enkelt halv-planet med hensyn til en hvilken som helst rett linje inneholder en av sine sider.

konveks mangekant

I løpet av elementære geometrien er alltid behandlet svært enkle polygoner. For å forstå egenskapene til geometriske figurer du trenger for å forstå deres natur. For å begynne å forstå at lukket er en linje som ender er de samme. Og figuren dannet av den, kan ha en rekke konfigurasjoner. Polygon kalles enkel lukket polylinje hvis tilstøtende enheter er ikke plassert på en rett linje. Sine lenker og noder er henholdsvis sidene og toppen av den geometriske figuren. En enkel polylinje må ikke overlappe seg selv.

hjørnene i mangekanten kalles naboer, i tilfelle de er endene av en av sidene. En geometrisk figur, som har en n-te antall hjørner, og følgelig den n-te rekke partier kalles n-gon. Selv stiplet linje er grensen eller konturen av den geometriske figuren. Polygonal plan eller flat polygon kalt den siste delen av et hvilket som helst plan, deres begrensede. Tilstøtende sider av den geometriske figur som kalles polylinje segmenter som kommer fra det samme toppunktet. De vil ikke være naboer hvis de er basert på forskjellige hjørnene i mangekanten.

Andre definisjoner av konveks mangekant

I elementær geometri, er det flere tilsvarende i betydning definisjoner, som angir det som kalles et konvekst polygon. Dessuten, alle disse påstandene er like sant. Et konvekst polygon er den som har:

• hvert segment som forbinder to vilkårlige punkter i det, ligger i sin helhet i det;

• deri ligger alle dens diagonaler;

• en hvilken som helst innvendig vinkel som ikke er større enn 180 °.

Polygon deler alltid planet i to deler. En av dem - begrenset (det kan være omsluttet av en sirkel), og den andre - ubegrenset. Den første er kalt det indre området, og den andre - det ytre området av den geometriske figur. Dette er krysset av polygonet (med andre ord - den totale komponent) flere halv-plan. Således er hvert segment har ender ved punkter som hører til en polygon tilhører helt til ham.

Varianter av konveks mangekant

Definisjon konveks polygon indikerer ikke at det er mange typer av dem. Og hver av dem har visse kriterier. Således er konveks mangekant, som har en innvendig vinkel på 180 °, referert til litt konveks. Den konvekse geometrisk figur som har tre topper, kalles en trekant, fire - firkant, fem - femkant, etc. Hver av de konvekse n-gons oppfyller følgende viktige krav: .. n må være lik eller større enn 3. Hver av trekantene er konveks. Den geometriske figuren av denne typen hvor alle punktene ligger på en sirkel, kalt innskrevet sirkel. Beskrevet konveks polygon kalles hvis alle sider rundt en sirkel å røre henne. To polygoner er kalt like bare i det tilfelle ved bruk av overlappingen kan kombineres. Flat polygon kalt kantet plan (en plan del) at dette begrenset geometrisk figur.

Regelmessig konveks mangekant

Regulære polygoner kalt geometriske figurer med like vinkler og sider. Inne i dem er det et punkt 0, som er i samme avstand fra hver av sine toppunkter. Det kalles sentrum av den geometriske figuren. Linjer forbinder sentrum med punktene av den geometriske figuren heter apothem, og de som kobler punktet 0 med partene - radier.

Riktig rektangel - torget. Likesidet trekant kalles likesidet. For slike former er den følgende regel: hvert konvekst polygon vinkel er 180 ° * (n-2) / n,

der n - antall hjørner av den konvekse geometrisk figur.

Arealet av en hvilken som helst regulær mangekant er bestemt ved følgende formel:

S = p * H,

der p er lik halvparten av summen av alle sider av polygonet, og h er lengden apothem.

Egenskaper konveks mangekant

Konveks mangekant har visse egenskaper. Således, segmentet som forbinder to vilkårlige punkter i en geometrisk figur, nødvendigvis lokalisert i den. bevis:

Anta at P - den konvekse polygonet. Ta to vilkårlige punkter, for eksempel A og B, som tilhører P. Ved den gjeldende definisjon av et konvekst polygon, er disse punkter er plassert på en side av den rette linjen som inneholder hvilken som helst retning R. har derfor AB også denne egenskap og er inneholdt i R. En konveks mangekant alltid kan være delt i flere trekanter absolutt alle diagonaler, som holdt en av sine toppunkter.

Vinkler konvekse geometriske figurer

Vinkler av en konveks polygon - er vinklene som dannes av partene. Innvendige hjørner er i innsiden området av geometrisk figur. Den vinkel som dannes av dens sider som konvergerer ved et topp-punkt, kalles vinkelen for den konvekse polygonet. Hjørner tilstøtende til de indre hjørner av geometrisk figur, kalt ytre. Hvert hjørne av et konvekst polygon, anordnet inne i det, er:

180 ° - x

der x - verdi utenfor hjørnet. Denne enkle formelen er anvendelig for alle typer av geometriske former.

Generelt, for utvendige hjørner foreligger med følgende regel: hvert konvekst polygon vinkel som er lik differansen mellom 180 ° og verdien av den indre vinkel. Den kan ha verdier fra -180 ° til 180 °. Følgelig, når den indre vinkelen er 120 °, vil utseendet ha en verdi på 60 °.

Summen av vinklene i konveks mangekant

Summen av vinklene i et konvekst polygon er etablert ved formelen:

180 ° * (n-2),

der n - antall hjørner av n-gon.

Summen av vinklene i en konveks polygon beregnes ganske enkelt. Vurdere en slik geometrisk form. For å bestemme summen av vinklene i et konvekst polygon må koble en av sine toppunkter til andre hjørnene. Som et resultat av denne handlingen slår (n-2) av trekanten. Det er kjent at summen av vinklene i en trekant er alltid 180 °. Fordi deres tall på en hvilken som helst polygon er lik (n-2), summen av vinklene i figuren er lik 180 ° x (n-2).

Beløpe seg konvekst polygon hjørner, nemlig de to tilstøtende indre og ytre vinkel til dem, i dette konvekse geometrisk figur vil alltid være lik 180 °. På bakgrunn av dette kan vi fastslå summen av alle sine hjørner:

180 x n.

Summen av vinklene er 180 ° * (n-2). Følgelig er summen av alle de ytre hjørner av figuren angitt ved formelen:

180 ° * N-180 ° - (N-2) = 360 °.

Summen av de ytre vinklene i en hvilken som helst konvekst polygon vil alltid være lik 360 ° (uavhengig av hvor mange av sine sider).

Utenfor hjørne av et konvekst polygon er generelt representert ved forskjellen mellom 180 ° og verdien av den indre vinkel.

Andre egenskaper ved et konvekst polygon

Foruten de grunnleggende egenskapene til geometriske figurer data, de har også andre, som oppstår når du håndterer dem. En hvilken som helst av polygoner kan deles opp i flere konvekse n-gons. For å gjøre dette, fortsetter til hver av sidene og kutte geometrisk form langs disse rette linjer. Splitte et hvilket som helst polygon i flere konvekse deler er mulig, og slik at toppen av hver av delene faller sammen med alle sine toppunkter. Fra en geometrisk figur kan være svært enkel å lage trekanter gjennom alle diagonalene fra en toppunktet. En hvilken som helst polygon, til slutt, kan deles inn i et visst antall triangler, noe som er meget nyttig i å løse ulike oppgaver i forbindelse med slike geometriske former.

Omkretsen av den konvekse polygonet

Segmentene i polylinje, polygon såkalte partier, ofte vises med følgende bokstaver: ab, bc, cd, de, ea. Denne siden av en geometrisk figur med topp-punkt a, b, c, d, e. Summen av lengdene av sidene av et konvekst polygon kalles dens omkrets.

Omkretsen av polygonet

Konveks mangekant kan legges inn og beskrevet. Sirkel tangerer alle sidene av geometrisk figur, kalt innskrevet i den. Dette polygon kalles beskrevet. Senteret sirkel som er innskrevet i polygonet er et skjæringspunkt mellom halveringslinjer vinkler innenfor en gitt geometrisk form. Arealet av polygonet er lik:

S = p * r,

hvor r - radius av den innskrevne sirkel, og p - semiperimeter dette polygonet.

En sirkel som inneholder polygonhjørnene, kalt beskrevet i nærheten av det. Videre dette konvekse geometrisk figur kalt innskrevet. Sirkelen senter, som er beskrevet på en slik polygon er et såkalt skjæringspunktet midperpendiculars alle sider.

Diagonale konvekse geometriske figurer

Diagonalene av et konvekst polygon - et segment som forbinder ikke nærliggende hjørner. Hver av dem er inne i denne geometrisk figur. Antallet diagonaler av n-gon er angitt i henhold til formelen:

N = n (n - 3) / 2.

Antallet diagonaler av en konveks polygon spiller en viktig rolle i elementær geometri. Antallet trekanter (K), som lett kan ødelegges hvert konvekst polygon, beregnes etter følgende formel:

K = n - 2.

Antallet diagonaler et konvekst polygon er alltid avhengig av antallet av hjørner.

Delingen av et konvekst polygon

I noen tilfeller, for å løse geometri oppgaver som er nødvendige for å bryte et konvekst polygon i flere trekanter med ikke-kryssende diagonaler. Dette problemet kan løses ved å fjerne en viss formel.

Definere problemet: ring høyre typen fordeling av en konveks n-gon i flere trekanter med diagonaler som krysser hverandre bare ved hjørnene i en geometrisk figur.

Løsning: Anta at P1, P2, P3, ..., Pn - toppen av n-gon. Antall Xn - antall av sine partisjoner. Nøye vurdere den resulterende diagonal geometrisk figur Pi Pn. I enhver av de vanlige skillevegger P1 Pn hører til en bestemt trekant P1 Pi-Pn, hvor 1

La i = 2 er en gruppe av faste skillevegger, alltid inneholdende diagonal P2 Pn. Antallet av skillevegger som er inkludert i den, lik antallet av partisjoner (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Med andre ord, det er lik Xn-1.

Hvis i = 3, deretter den andre gruppe skilleveggene vil alltid inneholde en diagonal P3 P1 og P3 Pn. Antallet korrekte skillevegger som er inneholdt i gruppen, vil falle sammen med det antall partisjoner (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Med andre ord vil det være Xn-2.

La i = 4, og trekantene blant riktig partisjon er bundet til å inneholde en trekant P1 Pn P4, som også knyttet til firkanten P1 P2 P3 P4 (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Antallet korrekte skillevegger slik firkant lik X4, og antallet av partisjoner (n-3) -gon lik Xn-3. Basert på det foregående, kan vi si at det totale antall faste skillevegger som er inneholdt i denne gruppen er lik Xn-3 X4. Andre grupper, hvor i = 4, 5, 6, 7 ... vil inneholde 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 faste skillevegger.

La i = n-2, antall korrekte skillevegger i en gitt gruppe vil falle sammen med det antall partisjoner i den gruppe, der i = 2 (med andre ord, tilsvarer Xn-1).

Siden X1 = X2 = 0, X3 = X4 = 1 og 2, ..., er antallet av partisjoner av konvekst polygon:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, Xn-X4 X5 + + 4 + ... X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

eksempel:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X5 X4 + + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Antallet korrekte skillevegger som krysser løpet av en diagonal

Ved kontroll enkelte tilfelle kan det antas at antall diagonaler konveks n-gon er lik produktet av alle partisjoner av dette diagram mønster (n-3).

Beviset for denne antagelsen: anta at P1N = Xn * (n-3), da en hvilken som helst n-gon kan deles i (n-2) er en trekant. I dette tilfellet er en av dem kan stables (n-3) -chetyrehugolnik. Samtidig er hver firkant diagonal. Etter denne konvekse geometrisk figur to diagonaler kan utføres, noe som betyr at i alle (n-3) -chetyrehugolnikah kan utføre ytterligere diagonal (n-3). På bakgrunn av dette kan vi konkludere med at ved et hvilket som helst passende skillevegg har en mulighet til (n-3) -diagonali som oppfyller kravene til denne oppgaven.

Området konvekse polygoner

Ofte i å løse ulike problemer med elementær geometri er det behov for å finne arealet av en konveks polygon. Anta at (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n representerer en sekvens av koordinatene til alle de nærliggende hjørnene i polygonet, som ikke har noen egen veikryss. I dette tilfellet, er dens område beregnes etter følgende formel:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

hvori _{(X1, Y1) = (X n 1, Y} n + _1).