Geometrisk progresjon og dens egenskaper

Geometrisk progresjon er viktig i matematikk som en vitenskap, og anvendt betydning, siden den har en svært bred omfang, selv i høyere matematikk, for eksempel i teorien om serien. Den første informasjonen om fremdriften kom til oss fra oldtidens Egypt, spesielt i form av et velkjent problem for Rhind papyrus syv personer med sju katter. Varianter av denne oppgaven ble gjentatt mange ganger på forskjellige tider fra andre nasjoner. Selv Velikiy Leonardo Pizansky, kjent som Fibonacci (XIII c.), Snakket til henne i sin "Book of the Abacus."

Slik at geometrisk progresjon har en eldgammel historie. Det representerer en numerisk sekvens med en ikke-null første element, og hver etterfølgende, ved å starte med det andre bestemmes ved å multiplisere den tidligere gjentakelse formel ved en konstant forskjellig fra null tallet som utropes nevneren progresjon (det vanligvis betegnet med bokstaven Q).
Selvsagt kan det bli funnet ved å dividere hver påfølgende periode på sekvensen til det foregående, det vil si z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Følgelig, for de fleste jobb progresjon (Zn) tilstrekkelig at den kjenner verdien av første periode av nevneren og y en q.

For eksempel, la z 1 = 7, q = - 4 (q <0), så kan følgende geometrisk progresjon erholdes 7 - 28, 112-448, .... Som du kan se, er den resulterende sekvens ikke monoton.

Husk at en vilkårlig sekvens av monoton (økende / minkende) når et av medlemmene følge mer / mindre enn den forrige. For eksempel, rekkefølgen 2, 5, 9, ..., og -10, -100, -1000, ... - Monoton, den andre - en avtagende geometrisk progresjon.

I det tilfelle hvor q = 1, ble alle medlemmene funnet å være, og det kalles det stadig utvikles.

Sekvensen var utviklingen av denne type må det tilfredsstille følgende nødvendig og tilstrekkelig betingelse, nemlig: ved å starte fra den andre, idet hver av medlemmene bør være det geometriske middel av nabo medlemmer.

Denne egenskapen gjør det mulig under visse to tilstøtende funn vilkårlig begrep progresjon.

n-te sikt eksponensielt lett finnes ved formelen: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z vel vitende første del 1 og nevneren q.

Ettersom antallet sekvens har en sum, og deretter noen få enkle beregninger gi oss en formel for å beregne summen av den første progresjon av medlemmer, nemlig:

S n = - (zn * Q - z 1) / (1 - q).

Å erstatte, i formel sitt uttrykk verdi zn z 1 * q ^ (n-1) for å oppnå en andre sum formel av progresjon: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Er verdig oppmerksomhet følgende interessant faktum: leirtavle funnet i utgravninger av gamle Babylon, som refererer til VI. BC, inneholder bemerkelsesverdig måte summen av 1 + 2 + ... + 22 + 29 lik 2 til tiende makt minus 1. Forklaringen på dette fenomenet er ennå ikke funnet.

Vi noterer en av egenskapene for geometrisk progresjon - en konstant arbeid av medlemmene som mellomlegg med like avstander fra endene av sekvensen.

Av særlig betydning fra et vitenskapelig synspunkt, noe slikt som en uendelig geometrisk progresjon og beregning av dens mengde. Forutsatt at (yn) - en geometrisk progresjon med nevneren q, tilfredsstiller betingelsen | q | <1, mengden derav vil bli henvist til grensen mot hvilken vi allerede kjenner summen av dens første medlemmer, med ubegrenset økning av n, så har på det nærmer seg uendelig.

Finn dette beløpet som et resultat av å bruke formelen:

S n = y 1 / (1-q).

Og, som erfaring har vist, for den tilsynelatende enkelheten i denne progresjonen er skjult et stort anvendelsespotensiale. For eksempel, hvis vi konstruere en sekvens av rutene i henhold til følgende algoritme, som forbinder midtpunktene av den foregående, så de danner et kvadratisk uendelig geometrisk progresjon med en nevner 1/2. Den samme progresjon form og område av trekanter, oppnådd i hvert trinn av konstruksjonen, og dens sum er lik arealet av den opprinnelige kvadrat.