Enkel iterasjonsmetoden for å løse systemer av lineære ligninger (Slough)

Enkel iterasjonsmetoden, også kalt metoden for påfølgende tilnærming - en matematisk algoritme for å finne verdiene av ukjent verdi gjennom en gradvis avklare det. Det vesentlige ved denne fremgangsmåte er at, som navnet tilsier, er gradvis uttrykker en første tilnærming av de etterfølgende, blir stadig mer raffinerte resultater. Denne metoden er benyttet for å finne verdien av den variable i en gitt funksjon, og å løse systemer av ligninger, både lineære og ikke-lineære.

La oss se hvordan denne metoden er implementert i løsningen av lineære systemer. fast punkt iterasjon algoritme er som følger:

1. verifisering av konvergensbetingelsene i den opprinnelige matrisen. En konvergens teorem: hvis den opprinnelige matrise i systemet er diagonalt dominant (dvs. hver rad av elementer i hoveddiagonalen må være større i omfang enn summen av elementene side diagonalene i absolutt verdi), metoden av enkle iterasjoner - konvergent.

2. matrise av det opprinnelige systemet er ikke alltid den diagonale overvekt. I slike tilfeller kan systemet bli forvandlet. Ligningene som tilfredsstiller konvergens tilstanden forblir intakt, med utilfredsstillende og gjør lineære kombinasjoner, d.v.s. formere, subtrahere, ligning brettes sammen for å gi det ønskede resultat.

Hvis den mottatte systemet på hoveddiagonalen er upraktisk faktorer, deretter til begge sider av denne ligningen blir tilsatt med uttrykk av formen _i * x _i, som skal sammenfalle med tegn tegn på diagonalelementene.

3. omdannelse av den resulterende system til vanlig visning:

^{x - = β - + α *} x -

Dette kan gjøres på mange måter, for eksempel som følger: den første ligning til å gi uttrykk for x _{fra 1} til annen ukjent fra vtorogo- x _2, x ₃ av tretego- etc. Således vi ved å benytte formelen:

_{α ij = - (a ij /} en ii)

_i = b _I / a _ii
Sørg for igjen at den resulterende system av normal type tilsvarer konvergens tilstand:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, og i = 1,2, ... n

4. begynne anvendes, faktisk, metoden for suksessive tilnærmelser.

x ⁽⁰⁾ - initial tilnærmelse uttrykker vi derigjennom x ^(1), etterfulgt av x ⁽¹⁾ x express ^(2). Den generelle formel for en matriseform som følger:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Vi beregner, før vi kommer til ønsket nøyaktighet:

_{max | x i (k) -x} i (k + 1) ≤ ε

Så, la oss se i praksis, metoden for enkel iterasjon. eksempel:
Løse lineære systemer:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 med nøyaktighet ε = 10 ^-3

Se forrang dersom de diagonale elementer av modulen.

Vi ser at konvergens betingelsen er tilfredsstilt ved en tredje ligning. Den første og andre transformere den første ligningen vi legge til to:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Trekk fra den tredje:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Vi har forvandlet den opprinnelige systemet i tilsvarende:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Nå reduserer vi systemet til vanlig visning:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Vi sjekker konvergens av iterativ prosess:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, d.v.s. betingelsen er oppfylt.

0,3947
Initial tilnærmelse x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Substituerer disse verdiene i ligning av den vanlige typen, vi få følgende verdier:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Substitute nye verdier, får vi:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Vi fortsetter å regne før inntil du kommer nærmere til verdiene som oppfyller angitte vilkår.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Kontrollere riktigheten av resultatene:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Resultater oppnådd ved å erstatte de oppnådde verdiene i den opprinnelige ligningen, fullt ut tilfredsstiller ligning.

Som vi kan se, gir enkel iterasjonsmetoden en ganske nøyaktige resultater, men å løse denne ligningen, måtte vi bruke mye tid og gjøre tunge beregninger.