Regulære polyedre: elementer symmetri og området

Geometri er vakker fordi, i motsetning algebra, som ikke alltid er klart hvorfor og hva du tror, gir en visuell objekt. Denne fantastiske verden av ulike organer pryder den vanlige polyedre.

Generell informasjon om regulære polyedre

Ifølge mange, regulært polyeder, eller som de kalles platonske faste stoffer, har unike egenskaper. Med disse objektene koblet flere vitenskapelige hypoteser. Når du begynner å studere geometriske data i kroppen, innser du at nesten ikke vet noe om et slikt konsept som den vanlige polyedre. Presentasjonen av disse objektene i skolen er ikke alltid interessant, så mange ikke engang huske hva de ble kalt. Til minne om de fleste er det bare en kube. Ingen av kroppen geometrien ikke er i besittelse slik perfeksjon som regulært polyeder. Alle navnene på disse geometriske legemer stammer fra antikkens Hellas. De representerer antall flater: Tetra - firesidet, hexahedron - Allen, oktaeder - åttekant, dodecahedron - dodecahedral, ikosaeder - tyveflatede. Alle disse geometriske kroppen inntar en viktig plass i Platons oppfatning av universet. Fire av disse er innlemmet elementer eller enheter: Tetrahedron - brannen, ikosaeder - vann kube - jord, oktaeder - luft. Dodecahedron nedfelt alle ting. Han ble ansett som den viktigste, som et symbol på universet.

Generalisering av begrepet en polyhedron

Polyhedron er en endelig samling av polygoner slik at:

• hver av sidene av hvilke som helst av polygonene er på samme tid bare en side av et annet polygon på samme side;
• fra hver av polygonene man kan gå til den annen ved å passere nær denne polygoner.

Polygoner som utgjør polyhedron representerer sine flater og deres side - ribbe. polyedre hjørner ligger topp-punktene av polygoner. Hvis begrepet polygon forstå flate lukkede polylinjer, så komme til en definisjon av en polyhedron. I det tilfelle hvor ved dette begrepet er ment en del av planet som er avgrenset av brutte linjer, vil det bli forstått overflate bestående av polygonale stykker. Konveks polyeder kalles kropp som ligger på den ene side av planet, ved siden av sine flater.

En annen definisjon av et polyeder, og dens elementer

Polyhedron kalt overflate bestående av polygoner, noe som begrenser den geometriske legeme. De er:

• ikke-konveks;
• konvekse (rett og galt).

Regulært polyeder - er en konveks polyhedron med maksimal symmetri. Elementer av regulære polyedre:

• Tetrahedron: 6 ribber 4 sideflater 5 hjørner;
• heksa (terning) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• oktaederet 12, 8, 6;
• ikosaeder 30, 20, 12.

Eulers teorem

Den etablerer et forhold mellom antall kanter, hjørner og flater er topologisk ekvivalente til en sfære. Tilsetning av antallet av hjørner og flater (B + D) har forskjellig regulære polyedre, og sammenlikne dem med antallet ribber, er det mulig å stille inn en regel kan man si summen av antallet av flater er lik antallet av hjørner og kanter (P) økte med 2. Det er mulig å utlede en enkel formel:

• B + D = P + 2.

Denne formelen er gyldig for alle konvekse polyedre.

grunnleggende definisjoner

Konseptet med en regulært polyeder er umulig å beskrive i en setning. Det er mer verdsatt og volum. Et organ for å bli gjenkjent som sådan, er det nødvendig at den møter en rekke definisjoner. Dermed vil en geometrisk legeme være et regulært polyeder når disse vilkårene er oppfylt:

• Det er konveks;
• det samme antall av ribber konvergerer ved hver av sine toppunkter;
• alle aspekter av hans - regulære polygoner, lik hverandre;
• Alle dihedral vinkler er like.

Egenskapene til regulære polyedre

Det er 5 forskjellige typer regulære polyedre:

1. Cube (heksa) - den har en flat toppvinkel er 90 °. Den har en tre-sidig vinkel. Mengden ansikt vinkler ved toppen på 270 °.
2. Tetrahedron - flat toppvinkel - 60 °. Den har en tre-sidig vinkel. Mengden ansikt vinkler ved spissen - 180 °.
3. Oktaeder - flat toppvinkel - 60 °. Den har en firesidet vinkel. Mengden ansikt vinkler på toppen - 240 °.
4. Dodecahedron - en flat toppvinkel på 108 °. Den har en tre-sidig vinkel. Mengden ansikt vinkler på toppen - 324 °.
5. Ikosaeder - den har en flat toppvinkel - 60 °. Den har en fem-sided vinkel. Mengden ansikt vinkler på toppen av 300 °.

Arealet av regulære polyedre

Overflatearealet av de geometriske legemer (S) beregnes som en regulær mangekant-område multiplisert med antall fasetter (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / s.

Volumet av et regulært polyeder

Denne verdien blir beregnet ved å multiplisere volumet av en regulær pyramide hvis basis er et regulært polygon, antall flater, og dens høyde er innskrevet radien av sfæren (r):

• V = 1: 3RS.

Volumene av regulære polyedre

Som alle andre geometriske faste, regelmessige polyhedra har ulike volumer. Nedenfor er formler som de kan beregne:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaeder: α x 3√2: 3;
• ikosaeder; α x 3;
• heksa (terning): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementer av regulære polyedre

Heksaeder og oktaeder er to geometriske legemer. Med andre ord, kan de komme seg ut av hverandre i tilfelle at tyngdepunktet av en er tatt som toppen av den andre, og vice versa. Også er dual ikosaeder og dodecahedron. Selv bare tetrahedron er dual. I henhold til metoden for Euclid kan fås fra et dodekaeder heksa ved å konstruere "tak" på flatene av kuben. Punktene av tetraederet er noen 4-punktene av kuben, ikke nabopar langs kanten. Fra heksa (terning) kan oppnås, og andre regulære polyedre. Til tross for at regulære polygoner det utallige, vanlige polyedre, er det bare fem.

Radiene av regulære polygoner

Med hver av disse geometriske organer er forbundne konsentriske sfærer 3:

• beskrevet som passerer gjennom punktene;
• innskrevet om hver av sine flater i midten av det;
• median om alle kanter i midten.

Radien av sfæren er beskrevet ved følgende formel beregnes:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Radien av den innskrevne sfære er beregnet som følger:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

hvor θ - to-plans vinkel som er mellom tilstøtende fasetter.

Den midlere radius av kulen kan beregnes ved hjelp av følgende formel:

• ρ = a cos n / p: 2 sin π / h,

hvor h = den størrelsesorden på 4,6, 6,10 eller 10. Forholdet mellom radiene til den innskrevne beskrevet og symmetrisk i forhold til p og q. Det er beregnet som følger:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Symmetrien av polyedre

Symmetrien av den regulære polyedre er av primær interesse for disse geometriske legemer. Det er forstått som en bevegelse av legemet i rommet, noe som gir det samme antall hjørner, flater og kanter. Med andre ord, under påvirkning av symmetritransformasjoner kant, holder toppunktet, eller ansikt sin opprinnelige posisjon, eller beveger seg til hjemmeposisjon for en annen ribbe, de andre hjørnene eller flater.

Elementer av symmetrien i regulære polyedre er felles for alle typer av geometriske faste stoffer. Her er det gjennomført på identitet transformasjon, som etterlater noen av punktene i den opprinnelige posisjon. Så, når du slår den mangekantet prisme kan få noen symmetrier. Noen av dem kan være representert som produktet av refleksjon. Symmetri, som er produktet av et likt antall refleksjoner, kalt direkte. Hvis det er et produkt av et ulike antall refleksjoner, da kalles tilbakemelding. Dermed er alle vindinger rundt den linje betegner rett symmetri. Enhver refleksjon polyeder, - er den inverse symmetri.

For bedre å forstå symmetrielementene i den vanlige polyedre, kan du ta eksempel av tetraeder. Enhver linje som vil passere gjennom et av hjørnene og sentrum av den geometriske form, vil finne sted, og gjennom midten av kanten motsatt til den. Hver av vindingene 120 og 240 ° rundt linjen tilhører flertall tetraedriske symmetri. Siden det 4 hjørner og ansikter, får vi totalt åtte direkte symmetrier. Enhver av de ledninger som passerer gjennom midten av kantene og midten av kroppen, passerer den gjennom midten av den motsatte kant. Enhver rotasjon på 180 °, som kalles en halv omdreining rundt en rett symmetri. Siden tetrahedron har tre par ribber, får du tre linjer med symmetri. Basert på ovennevnte, kan vi konkludere at det totale antall av direkte symmetri, og med identitet transformasjon, vil være opp til tolv. Andre direkte symmetri tetraeder finnes ikke, men det har 12 invers symmetri. Følgelig er bare 24, karakterisert Tetrahedron symmetrier. For klarhet, kan vi bygge en modell av en vanlig tetraeder laget av papp og sørge for at det er den geometriske kroppen egentlig har bare 24 symmetri.

Dodecahedron og ikosaeder - nærmest kroppen området. Ikosaeder har det største antall ansikter, dihedral vinkel og mest av alt kan tett klynge seg til innskrevet sfære. Dodecahedron har den laveste vinkel defekten største fast vinkel ved toppunktet. Det kan maksimere å fylle inn den omskrevne sfæren.

skanning polyhedra

Regelmessig polyhedra scan, som vi alle henger sammen i barndommen, har mye av begreper. Hvis det er et sett av polygoner, er hver side av disse er identifisert med bare den ene siden av polyhedron, skal identifikasjonen av partene i samsvar med to betingelser:

• av hver polygon, kan du gå til en polygon med identifisering av siden;
• identifiserbare side bør ha samme lengde.

Det er et sett av polygoner som oppfyller disse betingelsene, og kalles en polyhedron scan. Hver av disse organene har flere av dem. For eksempel, en kube som det er 11 stykker.