Teorien om sannsynlighet. Sannsynligheten for en hendelse, en og annen hendelse (sannsynlighetsteori). Uavhengige og inkompatible utviklingen i teorien om sannsynlighet

Det er usannsynlig at mange tror det er mulig å telle hendelser, som til en viss grad tilfeldig. For å sette det i enkle ord, er det realistisk å vite hvilken side av kuben i terningene vil falle neste gang. Det var dette spørsmålet å stille to store vitenskapsmenn, la grunnlaget for denne vitenskapen, teorien om sannsynlighet, sannsynligheten for hendelsen der studert nok.

generasjon

Hvis du prøver å definere et slikt konsept som teorien om sannsynlighet, får vi følgende: Dette er en av grenene av matematikken som studerer konstant tilfeldige hendelser. Klart, dette konseptet egentlig ikke avsløre essensen, så du må vurdere det nærmere.

Jeg ønsker å starte med grunnleggerne av teorien. Som nevnt ovenfor, var det to, som Per Ferma og Blez Paskal. De var de første forsøkt ved anvendelse av formler og matematiske beregninger for å beregne utfallet av en hendelse. Generelt rudimenter av denne vitenskapen er selv i middelalderen. Mens forskjellige tenkerne og forskere har forsøkt å analysere kasinospill som rulett, terningspill, og så videre, for derved å etablere et mønster, og det prosentvise tap av et tall. Stiftelsen ble også lagt i det syttende århundre var det de nevnte forskere.

I utgangspunktet deres arbeid kan ikke tilskrives de store prestasjoner i dette feltet, tross alt, hva de gjorde, de var rett og slett empiriske fakta og eksperimenter var klart uten hjelp av formler. Over tid viste det seg for å oppnå gode resultater, som dukket opp som et resultat av observasjon av kastet av bein. Det er dette instrumentet har bidratt til å bringe den første distinkt formel.

støttespillere

For ikke å nevne en slik mann som Christiaan Huygens, i ferd med å studere faget som bærer navnet "sannsynlighetsteori" (sannsynligheten for hendelsen fremhever det i denne vitenskapen). Denne personen er veldig interessant. Han, samt forskere presentert ovenfor er prøvd i form av matematiske formler for å utlede et mønster av tilfeldige hendelser. Det er bemerkelsesverdig at han ikke dele den med Pascal og Fermat, det er alt hans arbeid ikke overlapper med de sinn. Huygens utledet de grunnleggende begrepene sannsynlighetsteori.

Et interessant faktum er at hans arbeid kom lenge før resultatene av arbeidene til pionerene, for å være nøyaktig, tjue år tidligere. Det er bare blant de identifiserte var begreper:

• som begrepet sannsynlighetsverdier sjanse;
• forventning for det diskrete tilfelle;
• teoremer i addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

Dessuten kan man ikke glemme Yakoba Bernulli, som også har bidratt til studien av problemet. Gjennom sin egen, ingen av dem er uavhengige tester, var han i stand til å fremlegge bevis for loven om store tall. I sin tur, forskere Poisson og Laplace, som jobbet i begynnelsen av forrige århundre, var i stand til å bevise det opprinnelige teorem. Fra det øyeblikket for å analysere feil i observasjonene vi begynte å bruke sannsynlighetsteori. Partiet rundt denne vitenskapen kunne ikke og russiske forskere, heller Markov, Tsjebysjov og Dyapunov. De er basert på det arbeidet som gjøres store genier, sikret faget som en gren av matematikk. Vi jobbet disse tallene på slutten av det nittende århundre, og takket være deres bidrag, har vist seg fenomener som for eksempel:

• store talls lov;
• Theory of Markov kjeder;
• Den sentrale grensesetningen.

Så, er historien om fødselen av vitenskap og med de store personligheter som bidro til det alt mer eller mindre klar. Nå er det på tide å kjøttet ut alle fakta.

grunnleggende begreper

Før du berører de lover og teoremer bør lære de grunnleggende begrepene sannsynlighetsteori. Hendelses det opptar en dominerende rolle. Dette emnet er ganske omfattende, men vil ikke være i stand til å forstå alt det andre uten.

Event i sannsynlighetsteori - det Enhver sett resultatene av eksperimentet. Begrepene dette fenomenet er det ikke nok. Dermed Lotman vitenskapsmann som arbeider i dette området, har uttrykt at i dette tilfellet snakker vi om hva "som skjedde, selv om det ikke kan skje."

Tilfeldige hendelser (sannsynlighetsteori betaler spesiell oppmerksomhet til dem) - er et konsept som innebærer absolutt alle fenomen å ha muligheten til å skje. Eller, tvert imot, dette scenariet kan ikke skje i utførelsen av en rekke forhold. Det er også verdt å vite at okkuperer hele volumet av de fenomener som forekommer bare tilfeldige hendelser. Sannsynlighetsteori tilsier at alle forhold kan gjentas hele tiden. Det er deres oppførsel har blitt kalt "erfaring" eller "test".

Betydelig hendelse - dette er et fenomen som er ett hundre prosent i denne testen skje. Følgelig det umulige event - dette er noe som ikke skjer.

Ved å kombinere par Handling (som vanligvis er tilfelle A og tilfellet B) er et fenomen som forekommer samtidig. De er referert til som AB.

Mengden av par av hendelser A og B - C er, med andre ord, hvis minst en av dem vil (A eller B), får man en C. formel beskrevne fenomen er skrevet som C = A + B.

Inkompatible utviklingen i teorien om sannsynlighet innebærer at de to sakene er gjensidig utelukkende. Samtidig er de i alle fall kan ikke forekomme. Fellesarrangementer i sannsynlighetsteori - det er deres antipode. Implikasjonen er at hvis A har skjedd, betyr det ikke utelukke C.

Opposing hendelsen (sannsynlighetsteori anser dem i stor detalj), er lett å forstå. Det er best å håndtere dem i sammenligning. De er nesten de samme som uforenlige utviklingen i teorien om sannsynlighet. Imidlertid er deres forskjell at én av et antall av fenomener i ethvert tilfelle skulle oppstå.

Like sannsynlig hendelser - disse handlingene, muligheten for gjentakelse er like. For å gjøre det klart, kan du tenke deg å kaste en mynt: tap av en av sidene er like sannsynlige tap andre.

det er lettere å vurdere eksempel på favorisering hendelsen. Anta at det er en episode i episode A. Den første - en rull med en terning med bruk av et oddetall, og den andre - utseendet på nummer fem på terningen. Så viser det seg at A er favoriserte V.

Uavhengige hendelser i sannsynlighetsteori er anslått bare på to eller flere anledninger og involvere uavhengig av eventuelle tiltak fra den andre. For eksempel, A - ved tap haler myntstifterne, og B - dostavanie jekk fra dekk. De har uavhengige hendelser i sannsynlighetsteori. Fra dette øyeblikk ble det klart.

Avhengige hendelser i sannsynlighetsteori er også tillatt bare for sine sett. De innebærer avhengighet av en på den andre, er at fenomenet kan oppstå i bare i tilfelle når en allerede har skjedd, eller tvert imot, ikke skje når det er - den viktigste betingelsen for B.

Utfallet av tilfeldig eksperiment som består av en enkelt komponent - det er elementær hendelser. Sannsynlighetsteori sier at det er et fenomen som er gjort bare én gang.

basisk formel

Dermed ovenfor ble ansett begrepet "hendelse", "sannsynlighetsteori", ble definisjoner av sentrale begreper i denne vitenskapen også gitt. Nå er det på tide å gjøre seg kjent med de viktige formler. Disse uttrykkene er matematisk bekreftet alle de viktigste begrepene i en så vanskelig tema som teorien om sannsynlighet. Sannsynligheten for en hendelse, og spiller en stor rolle.

Bedre å starte med de grunnleggende formler av kombinatorikk. Og før du starter dem, er det verdt å vurdere hva det er.

Kombinatorikk - er først og fremst en gren av matematikk, han har vært å studere et stort antall heltall og ulike permutasjoner av både tall og deres elementer, ulike data, osv, som fører til en rekke kombinasjoner ... I tillegg til teorien om sannsynlighet, er denne industrien viktig for statistikk, informatikk og kryptografi.

Så nå kan du gå videre til presentasjon av seg selv og sine HD formler.

Den første av disse er et uttrykk for antall permutasjoner, det er som følger:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ligningen anvendes bare i det tilfelle hvis elementene skiller seg bare i størrelsesorden arrangement.

Nå plassering formelen, ser det ut som dette vil bli vurdert:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ... ⋅ ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Dette uttrykket er anvendelig ikke bare til den eneste element av orden plassering, men også til dens sammensetning.

Den tredje ligning kombinatorikk, og det er den sistnevnte, kalt formel for antall kombinasjoner:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinasjon kalles sampling, som ikke er bestilt, henholdsvis til og brukt denne regelen.

Med formler av kombinatorikk kom til å forstå lett, kan du nå gå til den klassiske definisjonen av sannsynlighet. Det ser ut som dette uttrykket som følger:

P (A) = m: n.

I denne formelen, m - er antall betingelser som fører til hendelsen A, og n - antall like og fullstendig alle elementære hendelser.

Det er mange uttrykk i artikkelen vil ikke bli vurdert noe annet enn berørt vil være de viktigste, slik som for eksempel utgjør sannsynligheten for hendelser:

P (A + B) = P (A) + P (B) - dette teorem for å legge kun gjensidig eksklusive arrangementer;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB), - men dette er bare for å legge kompatible.

Sannsynligheten for hendelsen verk:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - dette teorem for uavhengige hendelser;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - og dette for den avhengige.

Endte liste over hendelser formel. Teorien om sannsynlighet forteller oss teorem Bayes, som ser slik ut:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

I denne formelen, H _{1, H-2,} ..., H _N - er et komplett sett av hypoteser.

På dette stoppet, vil prøvene formler søknad nå bli vurdert for bestemte oppgaver fra praksis.

eksempler

Hvis du nøye studere noen gren av matematikken, er det ikke uten øvelser og eksempler på løsninger. Og teorien om sannsynlighets: hendelser, eksempler her er en integrert del av bekrefter vitenskapelige beregninger.

Formelen for antallet permutasjoner

For eksempel, i en kortstokken har tretti kort, og starter med den nominelle en. Neste spørsmål. Hvor mange måter å brette dekket slik at kortene med pålydende én og to ikke ble plassert ved siden?

Oppgaven er satt, nå la oss gå videre til å håndtere det. Først må du bestemme antall permutasjoner av tretti elementer, for dette formålet vi tar formelen ovenfor, viser det P_30 = 30!.

Basert på denne regelen, vi vet hvor mange alternativer det er å legge ned dekket på mange måter, men vi må trekkes fra dem er de hvor det første og andre kortet vil være neste. For å gjøre dette, starter med en variant, når den første er plassert på den andre. Det viser seg at det første kartet kan ta tjueni steder - fra den første til den tjueniende, og den andre kort fra andre til tretti, slår tjueni seter for par av kort. I sin tur, kan de andre ta tjueåtte seter, og i hvilken som helst rekkefølge. Det er, for omorganisering av de tjueåtte kortene har tjueåtte alternativer P_28 = 28!

Resultatet er at hvis vi anser vedtaket, når det første kortet er i andre ekstra mulighet til å få 29 ⋅ 28! = 29!

Bruker den samme metoden, må du beregne antall redundante alternativer for tilfellet når det første kortet er plassert under andre. Også fått 29 ⋅ 28! = 29!

Av dette følger det at de ekstra alternativene 2 ⋅ 29!, Mens de nødvendige midler for å samle dekk 30! - 2 ⋅ 29!. Det gjenstår bare å beregne.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nå må vi multiplisere sammen alle tallene 1-29, og deretter på slutten av alle multiplisert med 28. Svaret fått 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Eksempler på løsninger. Formelen for antall overnatting

I denne oppgaven, må du finne ut hvor mange det er måter å sette de femten volumer på en hylle, men under forutsetning av at bare tretti volumer.

I denne oppgaven avgjørelsen litt enklere enn den forrige. Ved hjelp av den allerede kjente formel, er det nødvendig å beregne det totale antall tretti steder femten volumer.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Reaksjon, henholdsvis, vil være lik 202 843 204 931 727 360 000.

Nå tar oppgaven litt vanskeligere. Du trenger å vite hvor mange det er måter å arrangere de trettito bøker i hyllene, med den forutsetningen at bare femten volumer kan ligge på samme hylle.

Før begynnelsen av beslutningen vil klargjøre at noen av de problemer som kan løses på flere måter, og i denne er det to måter, men i både en og samme formelen anvendes.

I denne oppgaven kan du ta svaret fra den forrige, fordi det vi har beregnet hvor mange ganger du kan fylle ut hyllen for femten bøker på forskjellige måter. Det viste A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Den andre regiment beregnet ved formelen stokke, fordi den er plassert femten bøker, mens resten av femten. Vi bruker formelen P_15 = 15!.

Det viser seg at summen vil A_30 ^ 15 ⋅ P_15 måter, men i tillegg vil produktet av alle tallene fra 30-16 bli multiplisert med produktet av tallene 1-15, til slutt slå ut produktet av alle tallene fra én til tretti, er at svaret er 30!

Men dette problemet kan løses på en annen måte - enklere. For å gjøre dette, kan du forestille deg at det er en hylle for tretti bøker. Alle av dem er plassert på dette flyet, men fordi tilstanden krever at det var to hyller, en lenge vi saging i to, to omdreininger femten. Fra dette viser det seg at denne ordningen kan være P_30 = 30!.

Eksempler på løsninger. Formelen for antall kombinasjoner av

Som regnes som en variant av den tredje problemet med kombinatorikk. Du må vite hvor mange måter det er å arrangere femten bøker på betingelse av at du må velge mellom tretti akkurat det samme.

For avgjørelsen vil selvsagt bruke formelen for antall kombinasjoner. Fra den betingelse at det blir klart at rekkefølgen på de samme femten bøkene er ikke viktig. Så i utgangspunktet må du finne ut det totale antall kombinasjoner av tretti femten bøker.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Det er alt. Ved hjelp av denne formelen, på kortest mulig tid for å løse et slikt problem, er svaret, henholdsvis lik 155117520.

Eksempler på løsninger. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet

Ved hjelp av formelen som er gitt ovenfor, kan man finne et svar på en enkel oppgave. Men det vil helt klart se og følge i løpet av handlingen.

Oppgaven gitt at det i en urne er det ti helt identiske kuler. Av disse fire gule og seks blå. Tatt fra urnen en ball. Det er nødvendig å vite sannsynligheten dostavaniya blå.

For å løse problemet er det nødvendig å utpeke dostavanie blå ballen hendelsen A. Denne erfaringen kan ha ti utfall, som i sin tur, elementær og like sannsynlig. På samme tid, seks av de ti er gunstige for arrangementet A. Løs den følgende formel:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Bruk av denne formelen, har vi lært at muligheten dostavaniya blå ballen er 0,6.

Eksempler på løsninger. Sannsynligheten for hendelser mengde

Som vil være en variant som er løst ved hjelp av formelen for sannsynligheten av hendelser mengde. Så, gitt under forutsetning av at det er to tilfeller, er det første en grå og fem hvite baller, mens den andre - åtte grå og fire hvite baller. Som et resultat har de første og andre bokser tatt på en av dem. Det er nødvendig å finne ut hva er sjansen for at manglet ballene er grå og hvit.

For å løse dette problemet, er det nødvendig å identifisere hendelsen.

• Således, A - vi ha en gray ball av den første boksen: P (A) = 1/6.
• A '- hvit pære også tatt fra den første esken: P (A') = 5/6.
• Den - allerede ekstrahert gray ball av den andre rørledning: P (B) = 2/3.
• B '- tok en gray ball av den annen skuff: P (B') = 1/3.

I henhold til problemet er det nødvendig at en av de fenomener som skjedde: AB 'eller' B. Ved hjelp av formelen, får vi: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Nå formelen for å multiplisere sannsynligheten ble brukt. Neste, for å finne ut svaret, må du søke sin ligning og legger til:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Det er slik, ved hjelp av formelen, kan du løse slike problemer.

resultat

Papiret ble presentert for informasjon om "sannsynlighetsteori", er sannsynligheten for hendelser som spiller en viktig rolle. Selvfølgelig har ikke alt vært vurdert, men på grunnlag av teksten presentert, kan du i teorien bli kjent med denne grenen av matematikk. Regnes vitenskapen kan være nyttig ikke bare i faglig virksomhet, men også i hverdagen. Du kan bruke den til å beregne enhver mulighet for en hendelse.

Teksten ble også påvirket av viktige datoer i historien om utviklingen av sannsynlighetsteori som en vitenskap, og navnene på folk som arbeider har blitt satt inn i den. Det er hvordan menneskelige nysgjerrighet har ført til at folk har lært å telle, selv tilfeldige hendelser. Når de er bare interessert i dette, men i dag er det allerede kjent for alle. Og ingen kan si hva som vil skje med oss i fremtiden, hva andre flotte funn relatert til teorien i betraktning, ville være begått. Men en ting er sikkert - studien fortsatt ikke er verdt det!