Som derivat av cosinus-utgangs

Den deriverte av cosinus er lik den deriverte av sinus grunnlag av bevis - definisjon av grense funksjon. Det er mulig å bruke en annen metode ved hjelp av trigonometriske formler for drift av sinus og cosinus vinkler. Uttrykke en funksjon etter hverandre - gjennom en sinus cosinus sinus, og differensiere med komplekse argument.

Betrakt det første eksempel på produksjon av formel (cos (x)) '

Gi ubetydelig økning Ah argument x av y = cos (x). Dersom den nye verdien av argumentet x + Ah skaffe en ny verdi Cos-funksjonen (x + Ah). Deretter inkrementere Au-funksjon vil være lik cos (x + Ax) -Cos (x).
Forholdet mellom det inkrement funksjonen vil være en slik Ah: (Cos (x + Ax) -Cos (x)) / Ah. Tegn identitetstransformasjoner som resulterer i telleren av fraksjonen. Tilbakekalling formel forskjell cosinus, er resultatet en arbeids -2Sin (Ah / 2) multiplisert med Sin (x + Ah / 2). Vi finner grensen lim private dette produktet ved Ah når Ah tendens til null. Det er kjent at den første (kalt bemerkelsesverdig) grense lim (Sin (Ah / 2) / (Ah / 2)) er lik 1, og begrenser -Sin (x + Ah / 2) er lik -Sin (x) når Ax, som tenderer til å null.
Vi skriver resultatet: derivatet (Cos (x)) 'er - Sin (x).

Noen foretrekker den andre metode for å utlede den samme oppskrift

Kjent fra trigonometri: cos (x) er lik sin (0,5 · Π-x) på lignende måte Sin (x) er Cos (0,5 · Π-x). Deretter differentiable komplisert funksjon - sinus til en ytterligere vinkel (i stedet X cosinus).
Vi oppnå produktet cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x)', fordi den deriverte av sinus cosinus av x er x. Tilgang til en annen formel Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x) å erstatte cosinus og sinus, anser at (0,5 · Π-x) = -1. Nå får vi -Sin (x).
Så, ta den deriverte av cosinus Vi = -Sin (x) for funksjonen y = cos (x).

Den deriverte av cosinus kvadrert

En ofte benyttet eksempel brukes der den deriverte av cosinus. Funksjonen y = cos ² (x) kompleks. Vi finner den første differensialstrømfunksjon med eksponent 2, dvs. 2 * cos (x), og det blir multiplisert med derivatet (Cos (x))', som er lik -Sin (x). Oppnå y '= -2 · cos (x) · Sin (x). Når anvendelig Sin formel (2 * x), sinus til den dobbelte vinkel, oppnå den endelige forenklet
responsen y '= -Sin (2 * x)

hyperbolske funksjoner

Anvendes i studiet av mange tekniske disipliner i matematikk, for eksempel, gjør det enklere å beregne integraler, løsning av differensiallikninger. De er uttrykt i form av trigonometriske funksjoner med imaginære argumenter, slik hyperbolsk cosinus lm (x) = cos (i · x) hvor i - er en imaginær enhet, hyperbolske sinus sh (x) = sin (i · x).
Hyperbolsk cosinus beregnes ganske enkelt.
Betrakt funksjonen y ^{= (e x + e -x)} / 2, er dette hyperbolsk cosinus lm (x). Ved hjelp av regelen for å finne et derivat summen av to uttrykk, fjerning vanligvis konstant multiplikator (Const) for fortegnet av derivatet. Det andre uttrykket på 0,5 · e ^-x - kompleks funksjon (et derivat derav er -0.5 · e ^-x), 0,5 · f ^x - den første periode. (Ch (x)) '= ^((x + e e ^{- x)} / 2)' kan skrives på en annen måte: (0,5 · e · ^x + 0.5 e ^{- x)} '= 0,5 grader Ø ^x -0,5 · e ^{- x,} fordi derivatet (e ^{- x)} 'er lik -1, til umnnozhennaya e ^{- x.} Resultatet var en forskjell, og dette er den hyperbolske sinus sh (x).
Konklusjon: (lm (x)) '= sh (x).
Rassmitrim et eksempel på hvordan man skal beregne den deriverte av funksjonen y = lm (x ³ 1).
Ved differensiering regel hyperbolsk cosinus med komplekse argument y '= sh (x ³ 1) · (x ³ 1)' hvor (x ³ + 1) = 3 · x ² + 0.
A: Den deriverte av denne funksjon er lik 3 · x ² * sh (x ³ 1).

Derivater diskutert funksjoner y = lm (x) og y = cos (x) tabell

Ved avgjørelsen av eksemplene er ikke nødvendig hver gang for å skille dem på den foreslåtte ordningen, bruke utgangs nok.
Eksempel. Differensiere funksjonen y = cos (x) + cos ² (-x) -CH (5 · x).
Det er lett å beregne (bruke dataene i tabellen), y '= -Sin (x) + Sin (2 * x) -5 · Sh (x • 5).