Georg Cantor: mengdelære, biografi og familie matematikk

Georg Cantor (Bildet viser senere i artikkelen) - tysk matematiker som utviklet teorien om settene og introduserte begrepet transfinite tall, uendelig store, men forskjellige fra hverandre. Han ga også en definisjon av ordens og kardinaltall og etablerte sin regning.

Georg Cantor: en kort biografi

Født i St. Petersburg 03.03.1845. Hans far var en dansk protestantisk Georg Waldemar Cantor, ble engasjert i handel, i Vol. H. Og på børsen. Hans mor, Maria, Bem var katolikk, og kom fra en familie av prominente musikere. Når i 1856 hans far George ble syk, familien på jakt etter et mildere klima flyttet først til Wiesbaden deretter til Frankfurt. Matematisk talent, gutten dukket opp før sin 15. bursdag mens han studerte i private skoler og offentlige skoler i Darmstadt og Wiesbaden. Til slutt, Georg Cantor talt sin far i sin vilje til å bli en matematiker snarere enn en ingeniør.

Etter en kort opplæring ved Universitetet i Zürich i 1863. Cantor ble overført til Berlin University for å studere fysikk, filosofi og matematikk. Der ble han sagt:

• Karl Theodor Weierstrass, som spesialisering i analysen, sannsynligvis hadde størst innflytelse på George;
• Ernst Kummer, som lærte den høyeste aritmetikk;
• Leopold Kronecker, på tallteori spesialist, som senere motsetning Cantor.

Etter å ha tilbrakt et semester ved Universitetet i Göttingen i 1866, neste år George skrev sin doktoravhandling med tittelen "I matematikk, kunsten å stille spørsmål er mer verdifullt enn å løse problemer" om problemet som Carl Friedrich Gauss venstre uløst i sin Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Etter en kort stund undervisning på Berlin School for jenter Kantor begynte å jobbe ved Universitetet i Halle, hvor han forble frem til slutten av sitt liv, først som foreleser, siden 1872 som assisterende professor, og siden 1879 den første som professor.

forskning

I begynnelsen av en serie på 10 verk fra 1869 til 1873, Georg Cantor betraktet teorien om tall. Arbeidet gjenspeiler lidenskap for faget sitt studie og effekten av Gauss Kronecker. På forslag fra Heinrich Eduard Heine, Cantor kolleger i Halle, som anerkjente hans matematiske talent, vendte han seg til teorien om trigonometriske serien, som utvidet begrepet reelle tall.

Basert på arbeidet funksjon av en kompleks variabel av den tyske matematikeren Bernhard Riemann i 1854, i 1870 Cantor har vist at en slik funksjon kan representeres på én måte - ved trigonometriske serien. Behandling av sett med tall (poeng), som ikke ville motsier dette synet, førte ham, i første omgang, i 1872, til definisjonen av irrasjonale tall i form av konvergerende sekvenser av rasjonale tall (fraksjoner av heltall) og deretter til begynnelsen av arbeidet på hans livsverk, mengdelære og begrepet transfinite tall.

mengdelære

Georg Cantor, teorien som setter sin opprinnelse i korrespondanse med Technical Institute of Braunschweig matematikeren Richard Dedekind, var venner med ham siden barndommen. De konkluderte med at settene, endelig eller uendelig, er en flerhet av elementer (f.eks tall {0, ± 1, ± 2 ...}) som har en viss egenskap, og samtidig beholde sin individualitet. Men når Georg Cantor anvendt for å studere deres egenskaper en-forhold (for eksempel {A, B, C} i {1, 2, 3}), han raskt at de er forskjellige i deres grad av tilknytning, selv om det var uendelig sett , t. e. set stykke eller et subsett av disse innbefatter det samme antall objekter som det er i seg selv. Hans metode snart ga fantastiske resultater.

I 1873, Georg Cantor (matematiker) viste at rasjonelle tall, selv om uendelig, er tellbar, fordi de kan bli satt i en-til-en korrespondanse med naturlig (ie. E. 1, 2, 3 ,. D.). Han viste at mengden av reelle tall som består av en rasjonell og irrasjonell, og utallige uendelig. Hva et paradoks, Cantor viste at mengden av alle algebraiske tall inneholder så mange elementer som mengden av alle heltall, og det transcendentalt tall som ikke er algebraisk, som er en undergruppe av irrasjonale tall er utallige, og dermed deres tall er større enn heltall og bør betraktes som uendelig.

Motstandere og støttespillere

Men jobben Cantor, der han først lagt frem resultatene, ikke ble publisert i "Krell" magazine som en av anmelderne, ble Kronecker imot. Men etter inngripen fra Dedekind den ble publisert i 1874 under tittelen "Det som kjennetegner alle reelle algebraiske tall."

Vitenskap og personlige liv

I det samme året, under bryllupsreise med sin kone, Valli Gutman i Interlaken, Sveits, møtte Cantor Dedekind som ber vi kommenterte sin nye teori. George lønn var liten, men med pengene hans far, som døde i 1863, hadde han bygget for sin kone og fem barn hjemme. Mange av hans verker er blitt publisert i Sverige i det nye tidsskriftet Acta Mathematica, redaktør og grunnlegger av som var Gösta Mittag-Leffler, blant de første til å anerkjenne talent av den tyske matematikeren.

Kommunikasjon med metafysikk

Teori Cantor var helt ny gjenstand for forskning relatert til matte uendelig (for eksempel, rekkefølgen 1, 2, 3 ,. D., og mer komplekse sett), som er i stor grad avhengig av en-til-en korrespondanse. Cantor Utvikling av nye metoder for å sette spørsmål om kontinuitet og uendelig lånes sine studier blandet.

Da han hevdet at uendelig antall virkelig eksisterer, vendte han seg til antikkens og middelalderens filosofi med hensyn til faktiske og potensielle uendelig, så vel som til den tidlige religiøs utdanning, som foreldrene ga ham. I 1883, i sin bok "Fundamentals of den generelle teorien sett" Kantor kombinert hans begrep om metafysikk Platon.

Kronecker også, som hevdet at "det er" bare tall ( "Gud skapte heltall, resten - et verk av mannen"), i mange år på det sterkeste avvist hans argumenter og hindret utnevnelsen til Universitetet i Berlin.

transfinite tall

I 1895-1897 gg. Georg Cantor fullt dannet sin idé om kontinuitet og uendelig, inkludert en endeløs sekvens og kardinaltall, i hans mest kjente verk, utgitt under tittelen "Bidrag til teorien om transfinite tall" (1915). Dette arbeidet inkluderer hans oppfatning, som han ledet en demonstrasjon som en uendelig sett kan leveres i en en-til-en korrespondanse med en av sine undergrupper.

Den minste transfinite kardinaltall han mente kraften i et sett, som kan settes i en-til-en korrespondanse med de naturlige tall. Kantor beskrev sin aleph-null. Stort transfinite flerhet Alef-utpekt ett, to eller Aleph-t. D. Det utviklet aritmetiske ordenstall, som var lik den endelige aritmetiske ytterligere. Dermed har han beriket begrepet uendelig.

Opposisjonen han møtte, og tiden det tok for å sikre at hans ideer ble fullt ut akseptert, forklarte kompleksiteten i revalueringen av den gamle spørsmålet om hva som er nummeret. Kantor viste at et sett av punkter på linjen har en høyere kapasitet enn Aleph-null. Dette førte til den velkjente problemet med kontinuum hypotesen - ingen kardinaler mellom aleph-null og ingen makt punkt på linjen. Dette problemet i første og andre halvdel av det 20. århundre er av stor interesse, og har blitt studert av mange matematikere, i Vol. H. Kurt Gödel og Paul Cohen.

depresjon

Biografi Georga kantora 1884 ble skjemmet av hans begynnende psykiske lidelser, men han fortsatte å arbeide aktivt. I 1897 hjalp han til å holde den første internasjonale kongressen for matematikere i Zürich. Delvis fordi han motsatte seg Kronecker, han ofte sympatiserte med de unge spirende matematikere og prøvde å finne en måte å redde dem fra trakassering av lærere som føler seg truet av nye ideer.

anerkjennelse

Ved århundreskiftet hans arbeid ble fullt anerkjent som grunnlag for teorien om funksjoner, analyse og topologi. I tillegg kantora Georga boken fungert som en pådriver for videre utvikling av formalistiske og intuitionist skole logiske grunnlaget for matematikken. Dette har vesentlig endret systemet for undervisning og er ofte forbundet med den "nye matematikk."

I 1911 var Cantor blant de inviterte til feiringen av 500-årsdagen for University of St Andrews i Skottland. Han dro dit i håp om å møte Bertrand Russell, som i sin nylig publiserte arbeidet Principia Mathematica gjentatte ganger henvist til den tyske matematikeren, men det skjedde ikke. Universitetet tildelt Cantor en æresgrad, men på grunn av sykdom var han ikke i stand til å motta prisen personlig.

Cantor pensjonerte seg i 1913 og levde i fattigdom og sulter under første verdenskrig. Feiringer i ære av sin 70-årsdag i 1915 ble avlyst på grunn av krig, men en liten seremoni ble holdt i hans hjem. Han døde 06.01.1918, i Galle, i et psykiatrisk sykehus, hvor han tilbrakte de siste årene av sitt liv.

Georg Cantor: A Biography. familie

9 august 1874, den tyske matematikeren gift Valli Gutman. Paret hadde 4 sønner og 2 døtre. Det siste barnet ble født i 1886 i Cantor kjøpt et nytt hjem. Støtte familien han hjalp sin fars arv. Helsen til Cantor sterkt påvirket dødsfallet til sin yngste sønn i 1899 - siden det aldri forlot depresjon.