Irrasjonale tall: hva er det og hva brukes de?

Hva er en irrasjonell nummer? Hvorfor blir de kalt? Hvor de brukes og hva som utgjør? Få kan uten å nøle for å svare på disse spørsmålene. Men faktisk, svarene er ganske enkelt, men ikke alle er nødvendig og i svært sjeldne tilfeller,

Essensen og betegnelse

Irrasjonell tallene er endeløse, ikke-periodiske desimaler. Behovet for å innføre dette konseptet stammer fra det faktum at for å ta opp nye framvoksende utfordringene har vært utilstrekkelige tidligere eksisterende konsepter av virkelige eller ekte, hele, naturlige og rasjonelle tall. For eksempel, for å beregne en kvadrat-verdi er 2, er det nødvendig å bruke en ikke-periodisk uendelig desimalbrøk. I tillegg har mange enkle ligninger har heller ingen løsning uten innføring av begrepet irrasjonale tall.

Dette settet er betegnet som I. Og, som har blitt klart, disse verdiene kan ikke være representert som en enkel brøk, teller som er hele, og nevneren - et naturlig tall.

For første gang en eller annen måte med dette fenomenet overfor indiske matematikere i VII århundre f.Kr., da det ble oppdaget at kvadratroten av visse mengder ikke kan identifiseres tydelig. En første bevis for eksistensen av slike tall er kreditert Pythagoras Hippasus, som gjorde det i studiet av en likebent rettvinklet trekant. En alvorlig bidrag til studiet av dette settet har brakt enda noen forskere som levde før Kristus. Innføringen av begrepet irrasjonale tall førte til en revisjon av eksisterende matematisk system, det er derfor de er så viktige.

Opprinnelsen til navnet

Hvis forholdet på latin - er "skutt", "attitude", forstavelsen "ir"
festet til ordet motsatt. Således, navnet på settet av disse tallene indikerer at de ikke kan korreleres til et helt eller brutt, har et sete. Dette følger av deres natur.

Sett i den generelle klassifiseringen

Irrasjonell tall, sammen med rasjonell refererer til en gruppe av reell eller virtuell, som i sin tur hører til komplekset. Delmengder imidlertid ikke skille mellom algebraisk og opphøyde slag, som vil bli diskutert nedenfor.

egenskaper

Fordi irrasjonale tall - det er en del av et sett med ekte, da gjelde for dem alle deres egenskaper, som er studert i aritmetikk (også kalt grunnleggende algebraiske lover).

a + b = b + a (commutativity);

(A + b) + c = a + (b + c) (associativity);

en + 0 = a;

a + (a) = 0 (eksistensen av additiv invers);

ab = Ba (kommutativ lov);

(Ab) C = a (bc) (Distributivity);

a (b + c) = ab + ac (distribusjon lov);

øks 1 = a

ax 1 / a = 1 (den inverse antall eksistens);

Sammenligning for øvrig i samsvar med de generelle lover og prinsipper:

Dersom a> b og b> c, og a> c (transitivity ratio) og. t. d.

Selvfølgelig kan alle irrasjonale tall konverteres ved hjelp av de grunnleggende aritmetiske operasjoner. Eventuelle spesielle regler på dette.

I tillegg irrasjonale tall dekket av Archimedes aksiom. Den sier at for noen to verdier av a og b er sant at ved å ta et begrep som et tilstrekkelig antall ganger, er det mulig å slå b.

bruk av

Til tross for at i det virkelige liv ikke ofte må forholde seg til dem, irrasjonale tall ikke gi konto. De er svært mange, men de er nesten usynlige. Vi er omgitt av de irrasjonale tall. Eksemplene, som er kjent for alle, - antallet pi, tilsvarende 3.1415926 ... eller en e, er i det vesentlige en basis av naturlige logaritmer, 2,718281828 ... I algebra, trigonometri og geometri må bruke dem konstant. Forresten, den kjente verdien av "gylne snitt", det vil si forholdet mellom hvor mye av høy til lav og vice versa, og Det refererer til dette settet. Mindre kjente "sølv" - også.

På tallinjen, de er veldig nær, slik at mellom to mengder, dekket av et sett med rasjonelle, irrasjonelle nødvendigvis forekomme.

Til nå er det mange uløste spørsmål knyttet til dette settet. Det finnes kriterier for eksempel irrationality av tiltaket og normaliteten av nummeret. Matematikere fortsetter å utforske de viktigste eksemplene for sin tilhørighet til en eller annen gruppe. For eksempel er det antatt at e - normalt antall, dvs. sannsynligheten for forekomst i hans innspilling av forskjellige tallene er de samme ... Som for pi, så det er relativt lenge under etterforskning. Mål irrasjonalitet også kalt verdi, indikerer hvor godt et bestemt nummer kan tilnærmes med rasjonale tall.

Algebraisk og transcendental

Som allerede nevnt, irrasjonale tall betinget delt inn i algebraisk og transcendental. Konvensjonelt, fordi strengt tatt er klassifiseringen brukes til å dele antallet C.

Under denne betegnelsen skjuler komplekse tall, som inkluderer selve eller ekte.

Så algebraisk kalles en verdi, som er roten til polynomet ikke er identisk lik null. For eksempel, vil kvadratroten av 2 faller i denne kategorien, fordi det er en løsning av likningen x ² - 2 = 0.

Alle andre reelle tall som ikke tilfredsstiller denne tilstanden kalles transcendental. Denne art, og er de mest velkjente og allerede er nevnt eksempler - nummeret pi og den naturlige logaritme med grunntall e.

Interessant nok ble verken det ene eller det andre opprinnelig avlet av matematikere som sådan har sin irrasjonalitet og transcendens blitt bevist gjennom mange år etter sin oppdagelse. For pi bevis ble gitt i 1882 og forenklet i 1894, noe som satte en stopper for debatten om problemet med sirkelens kvadratur, som varte i 2500 år. Det er fortsatt ikke fullt ut forstått, slik at moderne matematikere har arbeid å gjøre. Forresten, den første rimelig nøyaktig beregning av denne verdien hadde Arkimedes. Før ham, alle beregningene var for omtrentlig.

For e (Eulers tall, eller Napier), ble et bevis på hans transcendens funnet i 1873. Den brukes til å løse logaritmiske likninger.

Blant andre eksempler - sinus verdier, cosinus og tangens for eventuelle ikke-null algebraiske verdier.